ברשימה הקודמת סקרנו את חישוב הערך העתידי והערך הנוכחי של תשלום בודד. בפרק הנוכחי נראה כיצד מחושבים ערך עתידי וערך נוכחי של זרם תשלומים. מאחר שמטרתנו היא להבין את חישובי המשכנתא מסוג "שפיצר" - נתמקד בזרם תשלומים קבוע.
הנקודה החשובה כאן היא שמדובר ב-20 פיקדונות השונים זה מזה מבחינת תקופת הפיקדון: הסכום שנפקיד בשנה הראשונה יישאר בחשבון (ויישא ריבית) במשך 20 שנה; הסכום שנפקיד בשנה השנייה יישאר בחשבון במשך 19 שנים, וכן הלאה. הסכום שנפקיד בחשבון בתחילת השנה האחרונה יישאר בחשבון שנה אחת בלבד.
כל אחד מהפיקדונות יניב בסוף התקופה סכום שונה, בגלל ההבדלים בתקופת הפיקדון. הסכום הכולל שנקבל מהבנק כעבור 20 שנים יהיה מורכב מסכום כולל של כל הערכים הללו. אם אמרנו ברשימה הקודמת שניתן לחשב לכל פיקדון את הערך העתידי שלו - נאמר כאן שהערך העתידי של זרם ההפקדות כולו שווה לסכום הערכים העתידיים של כל פיקדון ופיקדון.
נסמן זאת כך: הערך העתידי של הפיקדון הראשון, שיישאר בחשבון 20 שנים, הוא
הערך העתידי של הפיקדון השני, שיישאר בחשבון 19 שנים, הוא:
הערך העתידי של הפיקדון השלישי, שיישאר בחשבון 18 שנים, הוא:
וכן הלאה, עד הפיקדון האחרון, שיישאר בחשבון שנה אחת ולכן הערך העתידי שלו הוא:
כעבור 20 שנים נקבל את הסכום B השווה לסכום הערכים העתידיים של כל הפיקדונות:
לא נוכיח זאת כאן, אולם סכום זה שווה לביטוי הבא:
התשובה היא 276,764.86 ש"ח:
השאלה היא: מהו ערכו הנוכחי של סכום זה? מהו הסכום החד-פעמי שהיינו צריכים להפקיד היום כדי שנקבל את אותה התמורה כעבור 20 שנים?
מהרשימה הקודמת אנו יודעים שהערך הנוכחי של סכום B שישולם בעוד 20 שנים הוא:
או, לאחר לאחר שנציב את הביטוי הקודם:
בדוגמה המספרית שלמעלה, הסכום שאותו יש להפקיד היום כדי לקבל 276,765 ש"ח בעוד 20 שנים הוא 153,238 ש"ח.
יש להבחין בין שני סוגי אנונה: זו שבה התשלום (תקבול) נעשה בסוף התקופה (Ordinary Annuity), ולעומתה זו שבה התשלום (תקבול) נעשה בתחילת התקופה (Annuity Due). משכנתא היא דוגמא לראשון, שכן תשלומי הלווה מתחילים לאחר תקופה אחת (חודש), ולעומתה תכנית החיסכון שראינו היא דוגמא לשני, שכן אנו מתחילים להפקיד סכומי כסף כבר במועד פתיחת התכנית.
קיים הבדל חישובי פשוט בין שני הסוגים: מאחר שמדובר בהפרש של תקופה אחת בעיתוי התשלומים - קיים הפרש של תקופה אחת בצבירת הריבית. לכן הערך העתידי (או הנוכחי) של אנונה שבה התשלומים מתבצעים בתחילת התקופה יהיה גדול פי (1+i) מזה של האנונה שבה התשלומים מתבצעים בסוף התקופה.
נקודה מעניינת היא שהריבית בהלוואות משכנתא אכן מחושבת על בסיס חודשי. חוב בסכום של 1 ש"ח כשהריבית החודשית היא 3:12=0.25% יגדל כעבור שנה ל- 1.030416 ש"ח. המשמעות היא שכאשר ריבית שנתית 3% מחושבת מידי חודש - הריבית האפקטיבית גבוהה יותר, והיא 3.0416%. עובדה זו נדרשים הבנקים להביא לידיעת הלווים, והם חייבים בכל חוזה עם הלקוח לציין גם את הריבית השנתית וגם את הריבית האפקטיבית. בידקו בחוזה המשכנתא ותמצאו אותה שם.
הנוסחה הכללית של הריבית האפקטיבית, כאשר הריבית השנתית היא %i ותדר הריבית הוא חודשי, היא:
ערך עתידי
נניח שנפקיד סכום של A ש"ח מידי שנה במשך 20 שנים, וששיעור הריבית השנתי על הפיקדון הוא %i. מהו הסכום שנקבל כעבור 20 שנים?הנקודה החשובה כאן היא שמדובר ב-20 פיקדונות השונים זה מזה מבחינת תקופת הפיקדון: הסכום שנפקיד בשנה הראשונה יישאר בחשבון (ויישא ריבית) במשך 20 שנה; הסכום שנפקיד בשנה השנייה יישאר בחשבון במשך 19 שנים, וכן הלאה. הסכום שנפקיד בחשבון בתחילת השנה האחרונה יישאר בחשבון שנה אחת בלבד.
כל אחד מהפיקדונות יניב בסוף התקופה סכום שונה, בגלל ההבדלים בתקופת הפיקדון. הסכום הכולל שנקבל מהבנק כעבור 20 שנים יהיה מורכב מסכום כולל של כל הערכים הללו. אם אמרנו ברשימה הקודמת שניתן לחשב לכל פיקדון את הערך העתידי שלו - נאמר כאן שהערך העתידי של זרם ההפקדות כולו שווה לסכום הערכים העתידיים של כל פיקדון ופיקדון.
נסמן זאת כך: הערך העתידי של הפיקדון הראשון, שיישאר בחשבון 20 שנים, הוא
הערך העתידי של הפיקדון השני, שיישאר בחשבון 19 שנים, הוא:
הערך העתידי של הפיקדון השלישי, שיישאר בחשבון 18 שנים, הוא:
וכן הלאה, עד הפיקדון האחרון, שיישאר בחשבון שנה אחת ולכן הערך העתידי שלו הוא:
כעבור 20 שנים נקבל את הסכום B השווה לסכום הערכים העתידיים של כל הפיקדונות:
לא נוכיח זאת כאן, אולם סכום זה שווה לביטוי הבא:
דוגמא מספרית
נניח שאנו פותחים תכנית חיסכון לילדינו ובה אנחנו מפקידים בתחילת כל שנה סכום של 10,000ש"ח, במשך 20 שנים. הריבית השנתית בתכנית חיסכון זו היא 3%. מה יהיה הסכום שנקבל מהבנק כעבור 20 שנים?התשובה היא 276,764.86 ש"ח:
ערך נוכחי של זרם תשלומים
ראינו שהערך העתידי כעבור 20 שנים של זרם פיקדונות שנתיים בגובה A כששיעור הריבית השנתי הוא %i הוא:השאלה היא: מהו ערכו הנוכחי של סכום זה? מהו הסכום החד-פעמי שהיינו צריכים להפקיד היום כדי שנקבל את אותה התמורה כעבור 20 שנים?
מהרשימה הקודמת אנו יודעים שהערך הנוכחי של סכום B שישולם בעוד 20 שנים הוא:
או, לאחר לאחר שנציב את הביטוי הקודם:
בדוגמה המספרית שלמעלה, הסכום שאותו יש להפקיד היום כדי לקבל 276,765 ש"ח בעוד 20 שנים הוא 153,238 ש"ח.
מושג האנונה (Annuity)
האנונה היא זרם קבוע של תשלומים או תקבולים, המשולמים בהפרשי זמן קבועים (חודש, שנה), למשך תקופת זמן קצובה. תשלומי הפנסיה או קיצבאות למיניהן הם דוגמאות לתקבולים. תשלומי המשכנתא בהלוואת "שפיצר" הם דוגמא לתשלומים.יש להבחין בין שני סוגי אנונה: זו שבה התשלום (תקבול) נעשה בסוף התקופה (Ordinary Annuity), ולעומתה זו שבה התשלום (תקבול) נעשה בתחילת התקופה (Annuity Due). משכנתא היא דוגמא לראשון, שכן תשלומי הלווה מתחילים לאחר תקופה אחת (חודש), ולעומתה תכנית החיסכון שראינו היא דוגמא לשני, שכן אנו מתחילים להפקיד סכומי כסף כבר במועד פתיחת התכנית.
קיים הבדל חישובי פשוט בין שני הסוגים: מאחר שמדובר בהפרש של תקופה אחת בעיתוי התשלומים - קיים הפרש של תקופה אחת בצבירת הריבית. לכן הערך העתידי (או הנוכחי) של אנונה שבה התשלומים מתבצעים בתחילת התקופה יהיה גדול פי (1+i) מזה של האנונה שבה התשלומים מתבצעים בסוף התקופה.
החישוב כאשר תדר ההתשלום הוא חודשי
הדוגמאות לעיל הניחו לשם פשטות שמדובר בתדר שנתי. כדי לעבור לתדר מציאותי יותר - זה החודשי - נידרש להכניס שני שינויים עקרוניים בחישובים: מספר התקופות יגדל פי 12, ושיעור הריבית יחולק בהתאם ל-12. בדוגמא שלנו מדובר כעת ב-240 תשלומים חודשיים של 833.33 ש"ח כ"א, ובריבית חודשית של 0.25%.נקודה מעניינת היא שהריבית בהלוואות משכנתא אכן מחושבת על בסיס חודשי. חוב בסכום של 1 ש"ח כשהריבית החודשית היא 3:12=0.25% יגדל כעבור שנה ל- 1.030416 ש"ח. המשמעות היא שכאשר ריבית שנתית 3% מחושבת מידי חודש - הריבית האפקטיבית גבוהה יותר, והיא 3.0416%. עובדה זו נדרשים הבנקים להביא לידיעת הלווים, והם חייבים בכל חוזה עם הלקוח לציין גם את הריבית השנתית וגם את הריבית האפקטיבית. בידקו בחוזה המשכנתא ותמצאו אותה שם.
הנוסחה הכללית של הריבית האפקטיבית, כאשר הריבית השנתית היא %i ותדר הריבית הוא חודשי, היא:
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה