המתמטיקה של המשכנתא: א. היוון של סכום יחיד

למרות שלרוב משקי הבית בישראל יש הלוואת משכנתא, וכולם היו צריכים להבין, לפחות ברמה כללית, מהו הבסיס החישובי שעל-פיו התשלומים נקבעים – הנושא כולו אפוף באווירה של מסתורין. הלווים אינם מבינים כיצד הגדלים השונים מתחברים: התשלום החודשי, ההחזר החודשי של הקרן, תשלום הריבית ויתרת החוב כעבור תקופה.

המסתורין מביא לאי-הבנה, ולנכונות לאימוצן של אמיתות מופרכות. כך אנו שומעים טענות כמו: "יתרת חוב המשכנתא אינה יורדת לאורך זמן למרות התשלומים החודשיים", או: "בהלוואת משכנתא עם תשלומים קבועים של קרן וריבית משלמים בשנים הראשונות רק את הריבית, ורק בשנים האחרונות משלמים את הקרן", ואפילו: "לא כדאי לסלק את יתרת החוב בסילוק מוקדם כי אז ממילא כבר שילמנו את כל הריבית על כל התקופה". ברשימה זו ננסה להבין את המתמטיקה הבסיסית של המשכנתא מסוג "שפיצר" ולפזר את הערפל.

כדי שלא להרתיע את הקוראים, נחלק את הרשימה לפרקים. הפרק הראשון מציג מושגי יסוד בהיוון: את חישובי הערך הנוכחי/הערך העתידי של סכום יחיד. בפרקים הבאים נפתח בהדרגה את החישובים המלאים של המשכנתא.

היוון של סכום יחיד

ערך עתידי

אנו חיים בעולם שבו לעיתוי שבו מתבצע התשלום יש משמעות כלכלית, הבאה לידי ביטוי בשיעור הריבית. אם נפקיד סכום של A ₪ למשך שנה אחת בפיקדון הנושא ריבית שנתית בשיעור של %i, נקבל כעבור שנה מהבנק את הסכום B, המחושב כך:

אנו אומרים לכן ש-B הוא הערך העתידי של סכום A המופקד לתקופה של שנה בריבית %i.

אם ההפקדה היא לתקופה ארוכה משנה אחת, והמפקיד אינו מקבל תשלום שוטף של ריבית (כלומר: הריבית נצברת), אזי גם הקרן וגם הריבית מושקעות מחדש לתקופה נוספת. לדוגמא, אם הפיקדון A יהיה לתקופה של שנתיים – נקבל מהבנק כעבור שנתיים סכום של:

זהו מה שקרוי "ריבית דריבית". בהתאמה, אם הפיקדון הוא לתקופה של n שנים – הסכום שנקבל מהבנק כעבור n שנים יהיה הפיקדון המקורי (A) מוכפל n פעמים בגורם (1+i). אנו אומרים לכן שהערך העתידי של סכום A המופקד למשך n שנים בריבית %i  הוא:

ערך נוכחי

אפשר גם להפוך את כיוון החשיבה: מהו הסכום A שיש להפקיד היום בחשבון הנושא ריבית שנתית בשיעור %i כדי לקבל בעוד שנה סכום של B? 


התשובה היא:

אנו אומרים לכן ש-A הוא הערך הנוכחי של סכום B שישולם בעוד שנה.

אם התשלום הוא כעבור שנתיים, נדרש להפקיד סכום A קטן יותר כיום כדי להגיע ל-B. הסכום הנדרש כיום הוא:

בהתאם, הסכום שיש להפקיד היום כדי לקבל סכום של B  בעוד n שנים הוא:

דוגמאות

עם תובנות אלו, נוכל לענות על שאלות מהסוג הבא:

שאלה 1: אם נפקיד 5,000 ₪ בפיקדון הנושא שיעור ריבית שנתי של 3%, מהו הסכום שיעמוד לרשותנו כעבור 20 שנים?

התשובה היא 9,031 ש"ח:

שאלה 2: אם אנו זקוקים לסכום בגובה 5,000 ₪ שיעמוד לרשותנו בעוד 20 שנים ושיעור הריבית הוא 3% - מהו הסכום שעלינו להפקיד כיום בבנק?

התשובה היא 2,768 ש"ח: