המתמטיקה של המשכנתא: ג. יחסים בין המשתנים בהלוואה

בשתי הרשימות האחרונות סקרנו את עקרונות ההיוון ואת ההגדרות וחישובי הערכים העתידיים והנוכחיים של תשלום בודד ושל אנונה. ניישם זאת עתה להלוואה עם לוח סילוקין מסוג "שפיצר".

הלוואת משכנתא מסוג "שפיצר" היא בעלת לוח תשלומים הכולל תשלומים חודשיים קבועים. עובדה זו כשלעצמה מעלה שאלה אצל חלק מהלווים: כיצד ייתכן שיתרת החוב יורדת לאורך זמן, אבל התשלום החודשי נותר קבוע?

נחזור למה שלמדנו ברשימה הקודמת. זרם התשלומים החודשי הקבוע מהווה אנונה. ניתן לחשב לזרם זה ערך עתידי, כלומר לקבוע ערך יחיד השקול כלכלית לזרם התשלומים כולו. כדי לעשות זאת עלינו לחשב את הגודל הבא: לו הפקדתי בכל חודש סכום קבוע (A) במשך 20 שנים, והפיקדון היה נושא ריבית שנתית של %i המחושבת בתדר חודשי - מהו הסכום שהיה מצטבר לזכותי בתום התקופה?

התשובה היא:

 

המשכנתא כתכנית חיסכון
עתה עלינו לעשות שינוי בכיוון החשיבה: קלטנו שאם נפקיד סכומים חודשיים בגובה A נקבל כעבור 20 שנים סכום שיאפשר לנו, למשל, לרכוש דירה; העניין הוא שאנו מעוניינים לרכוש את הדירה עכשיו - האם ייתכן שנמשוך את התמורה מראש?

אנו מחברים כאן שתי עיסקאות: את תכנית החיסכון ל-20 שנה עם הלוואה לדיור שתוחזר לכאורה בתשלום יחד - פידיון תכנית החיסכון. למעשה, אנו הופכים את הסדר הכרונולוגי הישן: במקום לחסוך במשך 20 שנים עד שיעמוד לרשותנו סכום שיספיק לרכישת דירה - אנו רוכשים את הדירה עכשיו וחוסכים ב-20 השנים הבאות. כל מה שנדרש הוא שיהיה מישהו שיהיה מוכן להלוות לנו כבר עכשיו את הערך המהוון של הסכום שיעמוד לרשותנו בתום התקופה. לתפקיד זה נכנס בנק המשכנתאות, והופך את הלוואת המשכנתא להלוואה שיש בתוכה תכנית חיסכון מובנית. אבל הנקודה החשובה כאן היא שלמעשה אין הבדל עקרוני בין חיסכון לדיור לבין תשלומים בגין הלוואת משכנתא: שניהם תכניות חיסכון לדיור, וההבדל הוא רק בעיתוי הרכישה של הדירה.

הסכום שנוכל ללות כיום הוא:

העברת הנוסחאות לעולם המשכנתאות
נותרו לנו שני שינויים שיש להכניס בנוסחא כדי להגיע לשפת המשכנתאות המקובלת. הראשון: תשלומי המשכנתא מתבצעים תמיד בסוף התקופה (Ordinary Annuity) ולא בתחילתה, כפי שהנחנו בדוגמא לעיל שעסקה בחיסכון. המשמעות היא שיש לתרגם את התוצאה שקיבלנו למונחי סוף תקופה (הזזה של חודש אחד בעיתוי), כפי שכבר ראינו ברשימה הקודמת בבלוג זה. השינוי השני הוא שיש לתרגם את שמות המשתנים בהם השתמשנו עד כה לשמות הנהוגים בעולם המשכנתאות: תשלום חודשי (PMT) במקום A, הלוואה (PV) במקום B. הצורה שתקבל הנוסחא לעיל היא עתה:

היפוך נוסחא זו יאפשר לנו לחלץ את נוסחת התשלום החודשי:

"קבוע המשכנתא"
נוכל עכשיו להגדיר את היחס בין התשלום החודשי (PMT) לבין גודל ההלוואה (PV):

יחס זה קבוע עבור כל שילוב נתון של ריבית ותקופה, והוא נקרא לכן "קבוע המשכנתא" (Mortgage Constant). זהו הסכום שיש לשלם בכל חודש בגין כל שקל של הלוואה. זהו למעשה הגודל המופיע בלוחות "שפיצר". לדוגמא: בהלוואה לתקופה של 20 שנים הניתנת בשיעור ריבית של 6% קבוע המשכנתא הוא:

זהו התשלום החודשי בגין כל שקל של הלוואה. אם ההלוואה היא בגובה 100,000 ש"ח - התשלום החודשי יהיה 716.43 ש"ח. נסו לחשב והשוו לתוצאה המתקבלת ממחשבון פיננסי או ממחשבוני משכנתא המצויים במספר אתרי אינטרנט. מסקנה: אפשר לחשב את הפרמטרים של הלוואת משכנתא גם ללא סיוע של מחשבונים פיננסיים ייעודיים.

ברור כי גודל קבוע המשכנתא נמצא ביחס ישיר לשיעור הריבית בהלוואה וביחס הפוך לתקופת ההלוואה. ברור גם שאנו יכולים לגזור כל אחד מהגדלים בעיסקה: לחשב לאיזו תקופה יש לקחת את ההלוואה אם מעוניינים שהתשלום החודשי יהיה בגובה מסוים, לחשב מהי ההלוואה המקסימלית שנוכל לקחת אם גובה התשלום החודשי נתון, וכן הלאה.

היפוך כיוון של אנונה: עולם הקיצבאות

אם הבנו שהלוואת משכנתא ותכנית חיסכון הן למעשה מוצרים קרובים - אנונה של תשלומים, כשהלוואת המשכנתא היא חיסכון עם הקדמת הפירות - נוכל להתייחס גם למוצרים סימטריים, הפועלים בכיוון הפוך: מוצרים פיננסיים המבוססים על אנונה של תקבולים.

המוצר הראשון הוא היפוך של תכנית החיסכון: במקום להפקיד כספים כל חודש ולמשוך את הערך העתידי של האנונה בתום התקופה - מפקידים סכום חד-פעמי גדול בתחילת התקופה ומקבלים תמורתו סכומים קבועים של קרן וריבית מידי חודש לתקופה קצובה. זוהי גימלה שאנשים רוכשים כדי ליצור (או להגדיל) זרם תקבולים בתקופה שלאחר הפרישה מעבודה.

המוצר השני הוא המשכנתא ההפוכה: גם כאן הלקוח מקבל קיצבה חודשית, אבל הוא אינו משלם תמורתה מראש אלא בתום התקופה, על-ידי מכירת ביתו, כשלאורך התקופה הבית משועבד למלווה כבטוחה לפירעון ההלוואה.

החישובים בכל המוצרים הפיננסיים דומים: מדובר בחישובי אנונה רגילים, עם הבדלים בכיוון הזרם (תקבולים/תשלומים), בשיעורי הריבית (שיעורי הריבית על הלוואות שונים בד"כ משיעורי הריבית על פיקדונות), ובעיתוי התשלום הגדול (לפני האנונה או אחריה).